02 李大壮辅导念初二的女儿如何学好数学

李大壮在解答女儿在阅读《数学家的眼光》这本书遇到的问题时，除了就书中知识点讲解外，还常常扩展开来，以让女儿“融会贯通”，真正“学懂”数学。比如他在讲解“归纳与演绎”专题时，就用这种方法“诱导”女儿得出许多数学结论。

李大壮：完全不同的个位数有几个？

李慧香：1、2、3、…、9，共9个。

李大壮：完全不同的十位数有多少个？

李慧香：99-10+1=90。

李大壮：完全不同的百位数有多少个？

李慧香：999-100+1=900。

李大壮：完全不同的千位数有多少个？

李慧香：9999-1000+1=9000。

李大壮：9、90、900、9000有什么规律？

李慧香：9=9*10^0、90=9*10^1、900=9*10^2、9000=9*10^3

李大壮：N为整数且N≥1，那样完全不同的N位正整数有多少个？

李慧香：9*10^(N-1)个

李大壮：这种推导方法叫什么方法？

李慧香：归纳法。

李大壮：你可否用演绎法证明完全不同的N位正整数有9*10^(N-1)个？

李慧香：任意一个N位正整数，其个位上的数字可能为1、2、3、…、9中的任意一个数字，即有9种选择，十位上的数字可能为0、1、2、3、…、9中的任意一个数字，百位上的数字可能为0、1、2、3、…、9中的任意一个数字，千位上的数字可能为0、1、2、3、…、9中的任意一个数字，…，N位上的数字可能为0、1、2、3、…、9中的任意一个数字，由此可见十位上直到N位上的数字都有10种选择，因此完全不同的N位正整数个数为：

9*10*10*10*10*10*10*10*10*10*10*10…*10

共有N -1个10。

即有9*10^(N-1)个

李大壮：真聪明，你用二种方法证明了有关正整数数位上的数字排列组合的规律。还有没有别的方法？

李慧香：完全不同的N位正整数个数=99999…9-10000…0 +1=90000…0=9*10^(N-1)

其中99999…9共有N个9，10000…0共有N-1个0，90000…0也共有N-1个0。

李大壮：你这种方法叫什么方法？

李慧香：演绎法。

李大壮：对，同是演绎法，你前一种方法用的是排列组合法，而后一种用的是算术方法。

李慧香：同是证明，算术方法是最简单的，同一个问题可用不同的数学工具来解决。

李大壮：对，本条数学题如果与笛卡尔的《谈谈方法》扯上关系，你有什么看法？

李慧香：笛卡尔的方法就是发现问题，提出问题，做出假设，实验验证，直到得出正确结论为止，其中“发现问题，提出问题，做出假设”相当于归纳法，而“实验验证，直到得出正确结论”相当于演绎法。

李大壮：讲得对！你可否列出“完全不同的N位正整数有多少个？”的等价命题？

李慧香：N位正整数从小到大有多少个？N位正整数从大到小有多少个？如果用0、1、2、3、…、9这10个数字来造出N位正整数，可造出完全不同的个数有多少个？如果用0、1、2、3、…、9这10个数字来组成任意一个N位正整数，有多少种组法？等等，它们都是“完全不同的N位正整数有多少个？”的等价命题。

李大壮：讲得对！那由所有的N位正整数构成的集合，其元素个数是多少呢？

李慧香：9*10^(N-1)个。

李大壮：非常聪明！一个命题是“如果一个集合是由所有的N位正整数构成，那么其元素个数是9*10^(N-1)个”，那么它的逆否命题是什么？

李慧香：如果一个正整数集合的元素个数不是9*10^(N-1)个，那么它不是由所有的N位正整数构成的。

李大壮：如何证明？

李慧香：因逆否命题等价于原命题，即只需证明“如果一个集合是由所有的N位正整数构成，那么其元素个数是9*10^(N-1)个”成立即可。所有的N位正整数是无穷多的，但按照集合论有关元素的定义，二个或多个相同的N位正整数仅算一个元素，这样一来只需证明“完全不同的N位正整数有9*10^(N-1)个”即可。

李大壮：非常聪明！如果三个集合分别是｛N位正整数｝、｛N位正整数｜从小到大｝、｛N位正整数｜从大到小｝，它们有什么关系？

李慧香：这三个集合是相同的。

李大壮：如果一个集合是｛两个N位正整数之和｝，那么该集合的元素个数是否有可能存在无限多的情况？

李慧香：1.当N=1时，先探讨A1=1、A2=2、A3=3的情形，

｛(Ai+Aj)｜Ai∈{1，2，3}，Aj∈{1，2，3}，i=1、2、3，j=1、2、3｝=｛2，3，4，3，4，5，4，5，6｝=｛2，3，3，4，4，4，5，5，6｝=｛2，3，4，5，6｝

当N=1时，再探讨A1=1、A2=2、A3=3、A4=4的情形，

｛(Ai+Aj)｜Ai∈{1，2，3，4}，Aj∈{1，2，3，4}，i=1、2、3、4，j=1、2、3、4｝=｛2，3，4，5，3，4，5，6，4，5，6，7，5，6，7，8｝=｛2，3，3，4，4，4，5，5，5，5，6，6，6，7，7，8｝=｛2，3，4，5，6，7，8｝

2.当N=2时，探讨A1=10、A2=11、A3=12的情形，

｛(Ai+Aj)｜Ai∈{10，11，12}，Aj∈{10，11，12}，i=1、2、3，j=1、2、3｝=｛20，21，22，21，22，23，22，23，24｝=｛20，21，21，22，22，22，23，23，24｝=｛20，21，22，23，24｝

3. 当N=3时，探讨A1=100、A2=101、A3=102、A4=103的情形，

｛(Ai+Aj)｜Ai∈{100，101，102，103}，Aj∈{100，101，102，103}，i=1、2、3、4，j=1、2、3、4｝=｛200，201，202，203，201，202，203，204，202，203，204，205，203，204，205，206｝=｛200，201，201，202，202，202，203，203，203，203，204，204，204，205，205，206｝=｛200，201，202，203，204，205，206｝

……

由上面例子可归纳出如下规律：

当N=c时，c∈{x｜x≥1的整数}设A1为最小的c位正整数，令A1=b，有A2=b+1、A3=b+2、A4=b+3、…、A9*10^(c-1)=b+9*10^(c-1)-1，而c位正整数从小到大共有9*10^(c-1)个，也即A9*10^(c-1)为最大的c位正整数，因此有：

｛(Ai+Aj)｜Ai∈{b，b+1，b+2，b+3，…，b+9*10^(c-1)-1}，Aj∈{b，b+1，b+2，b+3，…，b+9*10^(c-1)-1}，i=1、2、3、4、…、9*10^(c-1)，j=1、2、3、4、…、9*10^(c-1)｝=｛2b，2b+1，2b+2，2b+3，…，2b+18*10^(c-1)-2｝，因此有：

｜｛2b，2b+1，2b+2，2b+3，…，2b+18*10^(c-1)-2｝｜=2b+18*10^(c-1)-2-2b+1=18*10^(c-1)-1

因此当N无穷大时，也即c无穷大时，18*10^(c-1)-1→+∞，｛两个N位正整数之和｝为无限集，｜｛两个N位正整数之和｝｜为无限多；当N为一常数c时，c∈{x｜x≥1的整数}，

｜｛两个N位正整数之和｝｜=18*10^(c-1)-1，｛两个N位正整数之和｝为有限集。

李大壮：非常聪明！｛三个N位正整数之和｝是什么情况呢？

李慧香：依据上边有：｜｛三个N位正整数之和｝｜=b*3+3*9*10^(N-1)-3-b*3+1=27*10^(N-1)-2

当N无穷大时，27*10^(N-1)-2→+∞，｛三个N位正整数之和｝为无限集；当N为一常数c时，c∈{x｜x≥1的整数}，｜｛三个c位正整数之和｝｜=27*10^(c-1)-2为一定值，｛三个c位正整数之和｝为有限集。

李大壮：｛k个N位正整数之和｝是什么情况呢？k∈{x｜x≥1的整数}。

李慧香：同样有：｜｛k个N位正整数之和｝｜=b*k+k*9*10^(N-1)-k-b*k+1=9k*10^(N-1)-k+1

当N无穷大时，无论k是常数还是无穷大，都有9k*10^(N-1)-k+1=k(9*10^(N-1)-1)+1→+∞，｛k个N位正整数之和｝为无限集；

当N为一常数c时，c∈{x｜x≥1的整数}，又有二种情形：

1) k为一定值时，｜｛k个c位正整数之和｝｜=9k*10^(c-1)-k+1为一定值，｛k个c位正整数之和｝为有限集。

2) k为无穷大时，9k*10^(c-1)-k+1=k(9*10^(c-1)-1)+1→+∞，｛k个c位正整数之和｝为无限集。

李大壮：太捧了！求一下｛2位正整数｝∪｛两个2位正整数之和｝∪｛三个2位正整数之和｝∪｛四个2位正整数之和｝…∪｛k个2位正整数之和｝，k∈{x｜x≥2的整数}

李慧香：｛10，11，12，13，14，…，99k｝

李大壮：好！n∈{x｜x≥1的整数}，S(n)=1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+…+1/n，当n→+∞时，S(n)小于一定值吗？

李慧香：S=1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+…+1/n=1/1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16)+…+1/n≥1+1/2+2*1/4+4*1/8+8*1/16+…+1/n=1+1/2+1/2+1/2+1/2+…+1/n=1+m*1/2+…=1+m/2+…

其中m∈{x｜x≥1的整数}，当n→+∞时，有m→+∞，1+m/2+…→+∞，所以S(n)不可能小于一定值，而是无穷大。

李大壮：超棒！当n→+∞时，S(n)无穷大，此种情形在数学上用什么术语描述。

李慧香：发散。

李大壮就是用这些方法来辅导女儿数学的，使女儿数学越学越好。作为初二学生的李慧香通过阅读《数学家的眼光》这本书，在父亲扩展开来讲解后，她已提前掌握了不少高中数学知识。

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